Diskrete Kosinustransformation

Die Diskrete Kosinustransformation (im folgenden als DCT bezeichnet) wurde 1974 zum ersten mal erwähnt, sie ist eine verlustbehaftete Kompressionstechnik und das am weitesten verbreitete Verfahren bei der Bildkomprimierung. Sie wird unter anderem von dem Format JFIF verwendet.

Das Prinzip

In diesem Abschnitt soll das Funktionsprinzip der DCT erläutert werden, allerdings weicht diese Darstellung von der tatsächlichen Umsetzung ab, außerdem wird hier nur mit eindimensionalen Daten gearbeitet, für die Darstellung eines Bildes sind jedoch zwei Dimensionen erforderlich. Es lässt sich somit nicht direkt übertragen.

In Abb. 1 ist ein Schaubild zu sehen. Es gibt zwei Möglichkeiten dieses Schaubild zu definieren:

• Durch einzelne Punkte (rot) im Beispiel sind es 41, jeder Punkt ist durch seine Koordinaten (x/y) beschrieben:
  P1(-4/-0,57); P2(-3,8/-0,19); P3(-3,6/-1,12); P4(-3,4/-0,93); P5(-3,2/-0,62); P6(-3/0,21); P7(-2,8/0,23); P8(-2,6/0,9);...; P41(4/0,75)
• Durch einen Graph (blau), dieser ist durch eine Funktion beschrieben, welche wiederum aus Basisfunktionen besteht, deren Koeffizient die Gewichtung festlegt. Im Beispiel sieht diese wie folgt aus:
  f(x) = 2*sin(x) + 2*sin(2x) + 0,2*sin(4x) + 0,2*sin(8x) + 0,2*sin(16x) + 0,2*sin(32x) + 0,2*sin(64x) + 0,2*sin(128x) + 0,2*sin(256x) + 0,2*sin(512x)

Beide Möglichkeiten sind gleichwertig und lassen sich beliebig hin und her transformieren.

Abb. 1

Wenn man die anfallenden Daten nun reduzieren möchte so kann man die Anzahl der Punkte verringern (Abb. 2) oder man verringert die Anzahl der Basisfunktionen indem man die mit einem kleinen Koeffizienten entfernt (Abb. 3). Im Beispiel bleiben die ersten beiden Basisfunktionen erhalten (hoher Koeffizient).

Abb. 2	Abb. 3

Festzustellen ist dass bei der Reduktion der Punkte (von 41 auf 9) der wahrnehmbare Verlust stärker ist als bei der Reduktion der Basisfunktionen (von 10 auf 2).

Dieses Prinzip macht man sich bei der Diskreten Kosinustransformation zu Nutze.

Anwendung bei Bildern

Bei Bildern wird die Vorgehensweise etwas komplexer da nun eine Zusätzliche Dimension vorhanden ist: Zwei Achsen sind für die Koordinaten im Bild vorgesehen, die Dritte für den Grauwert.

Abb. 4 stellt zwei ineinander greifende Funktionen dar.

• Die Funktion von Abb. 1.
• Eine einfache Sinusfunktion auf der zusätzlichen Achse.

Die in Abb. 4 vorhandenen Grauwerte sind die eines möglichen Bildes.

Abb. 4

In der Realität werden Blöcke von 8 x 8 Pixeln einzeln transformiert. In Abb. 5 ist zu sehen wie die verschiedenen Basisfunktionen in der Anwendung aussehen, und welche Mischung es bei einer überlagerung gibt.

Abb. 5 Quelle: Wikipedia

Um ein Farbiges Bild zu speichern werden zusätzlich noch Farbinformationen gespeichert.

Wie bei Abb. 1 bis 3 zu sehen ist auch bei Abb. 6 bis 8 der Vorteil der diskreten Kosinustransformation zu erkennen.

Abb. 6 zeigt eine unkomprimierte Fotografie.

Abb. 6

Abb. 7 zeigt ein Bild bei dem die Datenmenge durch Reduktion der Pixel (Punkte) erreicht wurde.

In Abb. 8 ist ein Bild zu sehen auf das die DCT angewendet wurde, und somit eine Verringerung der Datenmenge erreicht wurde.

Abb. 7	Abb. 8

In Abb. 8 kann man bei genaürem hinsehen kleine Quadrate von je 8 x 8 Pixeln erkennen, welche durch die Komprimierung entstanden sind.

Quellen:

Wikipedia:
Diskrete Kosinustransformation

www.iti.fh-flensburg.de:
Diskrete Kosinus-Trans­formation (DCT) von H.W. Lang: